Роден е на 22-ри ноември 1979 година во Белград. Неговиот татко е познатиот актер Михајло Костиќ Пљака. Актерскиот талент го наследил од татко му и дедо му Нестор, кои се занимавале со оваа професија.
Мајката Гордана работела како професорка на Институтот за странски јазици, а таткото му ги водел него и неговиот постар брат Нестор на лов и риболов, па тие се заљубиле во овие спортови.
Актерот тренирал карате, а од мали нозе имал контакт со врвнитеи познати актери. Како момче игра неколку улоги во филмови и во серијата „Отворена врата“. Учелл во Единаесеттата белградска гимназија и потоа се запишал на актерска игра на Факултетот за драмски уметности. Во 2001 година ги завршил студиите, а дипломската работа му била претставата „Мушичка“.
Потоа се запишал на постдипломски студии по филмска историја. Во 2001 година дебитира во дебитантскиот филм на Срѓан Драгојевиќ „Апсолутна стотка“ и ја игра главната улога. Овој филм му ги отвора вратите за голем број улоги во кои Вук Костиќ беше маестрален.
Играл во бројни театарски претстави, некои од нив се: „Голема драма“, „Вишни во чоколада“, „Перница“, „Вила Сачино“, „Зајачки насип“, „Дамин гамбит“, „Српска драма“, „Неодоливиот љубовник селимар“, „Трансилванија“ итн. Добитник е на бројни награди и признанија.
Фото: Инстаграм принтскрин/vukkosticbadza
